Question

已知函數(shù)，
（1）當(dāng)且時，證明：對，；
（2）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；
（3）數(shù)列，若存在常數(shù)，，都有，則稱數(shù)列有上界。已知，試判斷數(shù)列是否有上界．

Answer 1

（1），，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取最大值，即，，即
（2）（3）數(shù)列無上界

試題分析：⑴當(dāng)且時，設(shè)，，……1分，解得。
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取最大值，即，，即
（2）若，=
所以
因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解
所以在上有解
所以在上有解，即使得
令，則，研究，當(dāng)時，
所以
（3）數(shù)列無上界
，設(shè)，，由⑴得，，所以，，取為任意一個不小于的自然數(shù)，則，數(shù)列無上界。
點評：不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，第二問將函數(shù)存在減區(qū)間首先轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)小于零有解，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，通過本題要加強不等式與函數(shù)的互相轉(zhuǎn)化的思維思路的培養(yǎng)與訓(xùn)練