Question

一個多面體如圖，ABCD是邊長為a的正方形，AB=FB，F(xiàn)B⊥平面ABCD，ED∥FB，G，H分別為AE，CE中點．
（1）試問：這個多面體是幾多面體（不必證明）？
（2）求證：GH∥平面ACF；
（3）當平面ACE⊥平面ACF時，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接數(shù)出多面體的面的個數(shù)即可；              
（2）連接AC，在△ACE中，根據(jù)中位線定理可知GH∥AC，又AC?平面ACF，且GH?平面ACF，滿足線面平行的判定定理所需條件，從而證得結(jié)論；
（3）連接DB，交AC于O，連接EO，F(xiàn)O，根據(jù)ABCD是正方形，F(xiàn)B⊥平面ABCD，ED∥FB，則Rt△ADE≌Rt△CDE，得AE=CE，EO⊥AC，而EO?平面ACE，AC?平面ACF，AC∩OF=O，只要EO⊥FO，就有平面ACE⊥平面ACF，設(shè)DE的長為x，在Rt△ODE中，求出OE，在Rt△OBF中，求出OF，在直角三角形OEF中利用勾股定理建立等式，解之即可求出所求．
解答：解：（1）是7多面體；                    （4分）
（2）證明：如圖，連接AC，在△ACE中，
∵G，H分別為AE，CE中點，∴GH∥AC（6分）
又AC?平面ACF，且GH?平面ACF，（8分）
所以GH∥平面ACF； （9分）
（3）解：如圖，連接DB，交AC于O，連接EO，F(xiàn)O，
∵ABCD是正方形，F(xiàn)B⊥平面ABCD，ED∥FB，
∴Rt△ADE≌Rt△CDE，得AE=CE，EO⊥AC，
∵EO?平面ACE，AC?平面ACF，AC∩OF=O，
∴只要EO⊥FO，就有平面ACE⊥平面ACF，（10分）
設(shè)DE的長為x，在Rt△ODE中，，
在Rt△OBF中，，EF²=2a²+（x-a）²EF²=OE²+OF²，解得
即平面ACE⊥平面ACF時，DE的長為（15分）
（如求二面角E-AC-E的平面角也可相應(yīng)得分，但不提倡）
點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的判定，同時考查了空間想象能力和論證推理的能力，屬于中檔題．