Question

（2012•梅州二模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示
（1）求此三棱柱的體積和表面積；
（2）畫出此三棱柱，并證明：AC₁⊥AB₁．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)俯視圖，可算出底面△ABC的AC長和AC邊上的高，而三棱柱的高為a，求出底面積再用柱體積公式，可得它的體積．再根據(jù)它的底面三角形和三個側(cè)面矩形的形狀，不難求出它的表面積．
（2）△ABC中，利用平方關(guān)系可得AB⊥BC，結(jié)合側(cè)面AA₁B₁B⊥平面ABC得BC⊥側(cè)面AA₁B₁B，從而BC⊥AB₁，而正方形AA₁B₁B中AB₁⊥A₁B，所以AB₁⊥平面A₁BC，可得AC₁⊥AB₁．

解答：解：（1）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
底面△ABC中，AB=BC=a，底邊AC上高為

2

2

a
可得AC=

2

a
因此，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V=S_△ABC×A₁A=

1

2

×

2

2

a×

2

a×a=

1

2

a³，
表面積為為S_表=

2

a×a+2×a×a+

1

2

×a×a×2=（3+

2

）a²．
（2）連接A₁B，根據(jù)題意知四邊形AA₁B₁B是正方形
∴AB₁⊥A₁B
∵△ABC中，AB²+BC²=2a²=AC²，
∴AB⊥BC
又∵側(cè)面AA₁B₁B⊥平面ABC，側(cè)面AA₁B₁B∩平面ABC=AB
∴BC⊥側(cè)面AA₁B₁B
∵AB₁?側(cè)面AA₁B₁B，∴BC⊥AB₁，
∵A₁B、BC是平面A₁BC內(nèi)的相交直線
∴AB₁⊥平面A₁BC
∵A₁C?平面A₁BC，
∴AC₁⊥AB₁．

點(diǎn)評：本題根據(jù)三視圖還原為直三棱柱，求三棱柱的表面積和體積，并證明線面垂直，考查了三視圖的理解、線面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．