Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），它們分別滿足條件：對(duì)任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；對(duì)任意a，b∈R，都有g(shù)（a+b）=g（a）•g（b），且對(duì)任意x＞0，g（x）＞1．
（1）求f（0）、g（0）的值；
（2）證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明x＜0時(shí)，0＜g（x）＜1，且函數(shù)y=g（x）在R上是增函數(shù)；
（4）試各舉出一個(gè)符合函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的實(shí)例．

Answer 1

（1）令a=b=0，則f（0）=f（0）+f（0）?f（0）=0
g（0）=g（0）•g（0）?g（0）=0或g（0）=1，
若g（0）=0，則g（x）=0，與條件矛盾．
故g（0）=1（也可令a=0，b=1，則不需要檢驗(yàn)）
（2）f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，
令a=x，b=-x，則f（-x）=-f（x）．
故f（x）為奇函數(shù)．
（3）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，g（-x）＞1，
又g（x）•g（-x）=g（0）=1?0＜g（x）＜1
故?x∈R，g（x）＞0
證法一：設(shè)x₁，x₂為R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，g（x₁-x₂）＜1g（x₁）-g（x₂）
=g[（x₁-x₂）+x₂]-g（x₂）=[g（x₁-x₂）-1]•g（x₂）＜0．
故g（x）為R上的增函數(shù)．
證法二：設(shè)x₁，x₂為R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，

g(x1)

g(x2)

=

g[(x1-x2)+x2]

g(x2)

=g(x1-x2)＜1
∴g（x）為R上的增函數(shù)．
（4）f（x）=2x；g（x）=2^x．