Question

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，點(diǎn)A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用離心率為得到關(guān)于a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)O到直線AB的距離為，即可求出a，b，c，進(jìn)而得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先利用EP⊥EQ把所求問題轉(zhuǎn)化為，再利用點(diǎn)P在拋物線上，利用拋物線上的點(diǎn)的范圍限制即可求出的取值范圍．
解答：解：（1）由離心率，得∴a=2b①
∵原點(diǎn)O到直線AB的距離為
∴②，
將①代入②，得b²=9，∴a²=36
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）∵EP⊥EQ∴
∴
設(shè)P（x，y），則，即
∴
∵-6≤x≤6，∴
則的取值范圍為[6，81]．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關(guān)鍵是利用條件列出關(guān)于a，b，c之間的方程．