Question

如圖（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB=2，F(xiàn)、H、G分別為AC，AD，DE的中點，現(xiàn)將△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如圖（乙）．
（1）求證：平面FHG∥平面ABE；
（2）記BC=xV（x）表示三棱錐B-ACE的體積，求V（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲證平面FHG∥平面ABE，根據(jù)面面平行的判定定理可知只需在一個平面內(nèi)找兩相交直線與另一平面平行，由圖（甲）結合已知條件知四邊形CBED為正方形，根據(jù)線面平行的判定定理可知FH∥面ABE，同理可得HG∥面ABE又FH∩HG=H滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知AC⊥平面CBED，從而V（x）=V_A-BCE=

1

3

S_△BCE•AC=

1

3

×

1

2

x²（2-x）=

1

6

x²（2-x），然后利用導數(shù)法求出體積的最大值即可．

解答：解：（1）證明：由圖（甲）結合已知條件知四邊形CBED為正方形
如圖（乙）∵F、H、G分別為AC，AD，DE的中點
∴FH∥CD，HG∥AE（1分）
∵CD∥BE∴FH∥BE
∵BE?面ABE，F(xiàn)H?面ABE
∴FH∥面ABE（3分）
同理可得HG∥面ABE又∵FH∩HG=H∴平面FHG∥平面ABE（4分）
（2）∵平面ACD⊥平面CBED且AC⊥CD
∴AC⊥平面CBED（5分）
∴V（x）=V_A-BCE=

1

3

S_△BCE•AC=H
∵BC=x∴AC=2-X（0＜x＜2）
∴V（x）=

1

3

×

1

2

x²（2-x）=

1

6

x²（2-x）=

1

12

x•x•（4-2x）（7分）
∵V′（x）=

1

6

（4x-3x²），令V′（x）=0得x=0（不合舍去）或x=

4

3

當x＞

4

3

時V′（x）＜0，當0＜x＜

4

3

時V′（x）＞0
∴當x=

4

3

時V（x）有最大值，V（x）_max=V（

4

3

）=

16

81

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，三棱錐的體積最值的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視．