Question

已知⊙O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由⊙O外一點(diǎn)P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；
（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值；
（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑最小值時(shí)⊙P的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²，化簡(jiǎn)可得a，b間滿足的等量關(guān)系．
（2）由于 PQ==，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．
（3）設(shè)⊙P 的半徑為R，可得|R-1|≤PO≤R+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=的最小值為，此時(shí)，求得b=-2a+3=，R取得最小值為-1，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（1）連接OQ，∵切點(diǎn)為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知PQ=PA，可得 PQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²．
花簡(jiǎn)可得 2a+b-3=0．
（2）∵PQ====，
故當(dāng)a=時(shí)，線段PQ取得最小值為．
（3）若以P為圓心所作的⊙P 的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R-1|≤PO≤R+1．
而OP===，故當(dāng)a=時(shí)，PO取得最小值為，
此時(shí)，b=-2a+3=，R取得最小值為-1．
故半徑最小時(shí)⊙P 的方程為 +=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，圓的切線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．