已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，0)上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且方程f(x)＝0有三個根，它們分別為α，2，β．

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)求證：f(1)≥2；

(Ⅲ)求|α－β|的取值范圍．

答案：
解析：

 　　解(Ⅰ) (x)＝3x2＋2bx＋c，

　　解(Ⅰ)(x)＝3x2＋2bx＋c，

　　∵f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，

　　∴當x＝0時f(x)取到極大值，　　∴(0)＝0，　　∴c＝0．

　　(Ⅱ)∵f(2)＝0，　　∴d＝－4(b＋2)

　　(x)＝3x2＋2bx＝0的兩個根分別為x1＝0，x2＝－，

　　∵函數(shù)f(x)在[0，2]上是減函數(shù)，∴x2＝－≥2，∴b≤－3．

　　∴f(1)＝b＋d＋1＝b－4(b＋2)＋1＝－7－3b≥2．

　　(Ⅲ)∵α，2，β是方程f(x)＝0的三根，可設f(x)＝(x－α)(x－2)(x－β)，

　　∴f(x)＝x3－(2＋α＋β)x2＋(2α＋2β＋αβ)x－2αβ，

　　∴　　∴

　　∴|α－β|＝＝＝＝．　　∵b≤－3，∴|α－β|≥3．


練習冊系列答案
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