Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，M為橢圓上除長軸端點外的任意一點，且△MF1F2的周長為4+2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點D（0，﹣2）作直線l與橢圓C交于A、B兩點，點N滿足 （O為原點），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由離心率為e= = ，①

則△MF1F2的周長l=2a+2c=4+2 ，則a+c=2+ ，②

則a=2，c= ，

則b2=a2﹣c2=1，

∴橢圓C的方程

（2）解：由 ，則四邊形OANB為平行四邊形，

當直線l的斜率不存在時顯然不符合題意；

當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx﹣2，l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，由 得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0

由△=162k2﹣48（1+4k2）＞0，得k2＞ ∴x1+x2= ，x1x2=

∵S△OAB= 丨OD丨丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨，

∴四邊形OANB面積S=2S△OAB=2丨x1﹣x2丨=2 ，

=2 ，

=2 ，

=8 ，

令4k2﹣3=t，則4k2=t+3（由上可知t＞0），S=8 =8 ≤8 =8 =2，

當且僅當t=4，即k2= 時取等號；

∴當k=± ，平行四邊形OANB面積的最大值為2，

此時直線l的方程為y=± x﹣2

【解析】（1）利用橢圓的離心率公式及焦點三角形的周長公式，求得a和c的值，b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓方程；（2）確定四邊形OANB為平行四邊形，則SOANB=2S△OAB ， 表示出面積，利用基本不等式，即可求得最大值，從而可得直線l的方程．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關(guān)知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．