Question

（2006•海淀區(qū)一模）△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C，若tanA和tanB是關(guān)于x的方程x²+mx+m+1=0的兩實根，則角C=

3π

4

；實數(shù)m的取值范圍是

（-∞，2-

2

]

．

Answer 1

分析：依題意，利用韋達定理與兩角和的正切可求得tan（A+B），繼而可得C，再利用△≥0可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵tanA和tanB是關(guān)于x的方程x²+mx+m+1=0的兩實根，
∴

tanA+tanB=-m tanAtanB=m+1

且△=m²-4（m+1）≥0．
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

-m

1-(m+1)

=1，
∵A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，
∴A+B=

π

4

，故C=π-（A+B）=π-

π

4

=

3π

4

；
∴tanA+tanB=-m＞0，
∴m＜0，又△=m²-4（m+1）≥0．
∴m≤2-

2

．
故答案為：

3π

4

，（-∞，2-

2

]．

點評：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，考查韋達定理的應(yīng)用，屬于中檔題．