(2013•蘭州一模)選修4-5:《不等式選講》
已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.
(I)證明:-3≤f(x)≤3;
(Ⅱ)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
分析:(I)分當x≤2時、當2<x<5時、當x≥5 時三種情況,分別化簡函數(shù)f(x)的解析式,求出函數(shù)f(x)的值域,可得-3≤f(x)≤3成立.
(II)分當x≤2時、當2<x<5時、當x≥5時三種情況,分別解出不等式f(x))≥x2-8x-8x+15的解集,再取并集,即得所求.
解答:解:(I)證明:當x≤2時,f(x)=2-x-(5-x)=-3;
當2<x<5時,f(x)=x-2-(5-x)=2x-7,所以-3<f(x)<3;
當x≥5 時,f(x)=x-2-(x-5)=3.
所以-3≤f(x)≤3.…(5分)
(II)由(I)可知,當x≤2時,f(x))≥x2-8x-8x+15,等價于-3≥x2-8x+15,
等價于(x-4)2+2≤0,解集為∅.
當2<x<5時,f(x)≥x2-8x-8x+15,等價于2x-7≥x2-8x-8x+15,即 x2-10x+22≤0,
解得 5-
3
≤x≤5+
3
,故不等式的解集為{x|5-
3
≤x<5}.
當x≥5時,f(x)≥x2-8x+15,等價于x2-8x+12≤0,解得2≤x≤6,
∴不等式的解集為 {x|5≤x≤6}.
綜上,不等式的解集為{x|5-
3
≤x≤6}.…(10分)
點評:本題主要考查絕對值不等式、一元二次不等式的解法,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
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