Question

14．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2，PA=3，AD=6，PA⊥底面ABCD，E是PD上的動點．若CE∥平面PAB，則三棱錐C-ABE的體積為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐C-ABE的體積．

解答 解：以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（6，0，0），P（0，0，3），
設(shè)E（a，0，c），$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AD}$，則（a，0，c-3）=（6λ，0，-3λ），
解得a=6λ，c=3-3λ，∴E（6λ，0，3-3λ），
$\overrightarrow{CE}$=（6λ-2，-2，3-3λ），
平面ABP的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵CE∥平面PAB，∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}$=6λ-2=0，
解得$λ=\frac{1}{3}$，∴E（2，0，2），
∴E到平面ABC的距離d=2，
∴三棱錐C-ABE的體積：
V_C-ABE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．