Question

已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
（Ⅲ）若曲線上存在兩點(diǎn)使得是以坐標(biāo)原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊的中點(diǎn)在軸上，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時在[-1，2]上的最大值為2，
當(dāng)時在[-1，2]上的最大值為；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）由題意先對時的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，易得，解得；（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)為分段函數(shù)，要求在區(qū)間上的最大值，需分別求區(qū)間和上的最大值，當(dāng)時，應(yīng)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而求區(qū)間上的最大值；當(dāng)時，應(yīng)對函數(shù)分兩種情況討論，可得結(jié)論；（Ⅲ）根據(jù)條件可知的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)，其中，若，則，由是直角，得，即，方程無解；若，則由于中的中點(diǎn)在軸上，且，所以點(diǎn)不可能在軸上，即同理有，，得的范圍是.
試題解析：（I）當(dāng)時，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為且解得.       4分
（II）由（I）得，當(dāng)時，令，
可得或在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為，當(dāng)時，,
當(dāng)時，恒成立此時在[-1，2]上的最大值為；
當(dāng)時在[1，2]上單調(diào)遞增，且，
令則，
所以當(dāng)時在[-1，2]上的最大值為，
當(dāng)時在[-1，2]上的最大值為，
綜上可知，當(dāng)時在[-1，2]上的最大值為2，
時當(dāng)時在[-1，2]上的最大值為.            9分
（III）根據(jù)條件可知的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
不妨設(shè)，其中，
若，則，由是直角，得，即，
即此方程無解；
若，則由于中的中點(diǎn)在軸上，且，所以點(diǎn)不可能在軸上，
即同理有，，
令由于函數(shù)的值域是
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是                      14分