Question

設(shè)f（x）=k（x²-x+1）-x⁴（1-x）⁴，如果對任何x∈[0，1]，都有f（x）≥0，則k的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)不等式恒成立，利用參數(shù)分類法，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：如果對任何x∈[0，1]，都有f（x）≥0，
則等價為如果對任何x∈[0，1]，都有k（x²-x+1）-x⁴（1-x）⁴≥0，
∵x²-x+1＞0恒成立，
∴不等式等價為k≥

x4(x-1)4

x2-x+1

=

(x2-x)4

x2-x+1

，
設(shè)g（x）=

(x2-x)4

x2-x+1

，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=

4(x2-x)3(2x-1)(x2-x+1)-(x2-x)4(2x-1)

(x2-x+1)2

=

(x2-x)3(2x-1)(3x2-3x+4)

(x2-x+1)2

，
由g′（x）=0，解得x=0或x=1或x=

1

2

，
則g（0）=g（1）=0．g（

1

2

）=

( 1 4 - 1 2 )4

1 4 - 1 2 +1

=

1 256

3 4

=

1

192

，
故函數(shù)g（x）在[0，1]上的最大值為

1

192

，
故k≥

1

192

，
∴k的最小值為

1

192

，
故答案為：

1

192

點評：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用參數(shù)分類法結(jié)合函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運算量較大．