設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=2n,數(shù)列{bn}滿足2n2-(t+bn)n+
32
bn=0
,(t∈R,n∈N*).
(1)試確定實數(shù)t的值,使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)當(dāng)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列時,對每個正整數(shù)k,在ak和ak+1之間插入bk個2,得到一個新數(shù)列{cn}.設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項和,試求滿足Tm=2cm+1的所有正整數(shù)m.
分析:(1)確定數(shù)列{bn}的前3項,利用等差數(shù)列的定義,即可確定實數(shù)t的值;
(2)先確定cm+1必是數(shù)列{an}中的某一項ak+1,再分組求和,結(jié)合整除的性質(zhì),即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時,2-(t+b1)+
3
2
b1=0
,得b1=2t-4,
同理:n=2時,得b2=16-4t;n=3時,得b3=12-2t,則由b1+b3=2b2,得t=3.…(2分)
而當(dāng)t=3時,2n2-(3+bn)n+
3
2
bn=0
,得bn=2n
由bn+1-bn=2,知此時數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.…(4分)
(2)由題意知,c1=a1=2,c2=c3=2,c4=a2=4,c5=c6=c7=c8=2,c9=a3=8,…
則當(dāng)m=1時,T1=2≠2c2=4,不合題意,舍去;
當(dāng)m=2時,T2=c1+c2=4=2c3,所以m=2成立; …(6分)
當(dāng)m≥3時,若cm+1=2,則Tm≠2cm+1,不合題意,舍去;
從而cm+1必是數(shù)列{an}中的某一項ak+1,則Tm=a1+
2+…+2
b1
+a2+
2+…+2
b2
+a3+
2+…+2
b3
+a4+…+ak+
2+…+2
bk

=(2+22+23+…+2k)+2(b1+b2+b3+…+bk)=2(2k-1)+2×
(2+2k)k
2
=2k+1+2k2+2k-2
,…(9分)
2cm+1=2ak+1=2×2k+1
所以2k+1+2k2+2k-2=2×2k+1,即2k-k2-k+1=0,
所以2k+1=k2+k=k(k+1)
因為2k+1(k∈N*)為奇數(shù),而k2+k=k(k+1)為偶數(shù),所以上式無解.
即當(dāng)m≥3時,Tm≠2cm+1
綜上所述,滿足題意的正整數(shù)僅有m=2.…(12分)
點評:本題考查等差數(shù)列的判定,考查數(shù)列的求和,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求an并且證明{an}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)m、k、p∈N*,m+p=2k,求證:
1
Sm
+
1
Sp
2
Sk
;
(3)對于(2)中的命題,對一般的各項均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎?如果成立,請證明你的結(jié)論,如果不成立,請說明理由.

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1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
,那么an+1-an等于( 。

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