Question

（2012•濟(jì)寧一模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)，f（x）=sinπx，f（

3

2

）=0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

A．9

B．7

C．5

D．3

Answer 1

分析：由題意知當(dāng)x∈(0，

3

2

)時(shí)f（x）=sinπx，求出f（x）=0的根，再由條件和奇函數(shù)的性質(zhì)，求出一個(gè)周期[-

3

2

，

3

2

]內(nèi)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)f（x）是定義域?yàn)镽的周期為3函數(shù)，根據(jù)周期性進(jìn)行求出在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)即可．

解答：解：由題意得當(dāng)x∈(0，

3

2

)時(shí)，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1．
又∵函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(

3

2

)=0，
∴在區(qū)間[-

3

2

，

3

2

]上有f（-1）=f（1）=f（-

3

2

）=f（

3

2

）=0，且f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
則方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解有0，1，

3

2

，2，3，4，

9

2

，5，6，共9個(gè)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的周期性和奇偶性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵結(jié)論“若奇函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則必有f（0）=0”應(yīng)用，這個(gè)關(guān)系式大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，要注意在解題中使用．如果本題所給區(qū)間為開(kāi)區(qū)間，則答案為7個(gè)，若區(qū)間為半開(kāi)半閉區(qū)間，則答案為8個(gè)，故要注意對(duì)端點(diǎn)的分析．