Question

已知a為非負(fù)實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式ax²-（a+1）x+1＜0．

Answer 1

分析：由a為非負(fù)實(shí)數(shù)，得到a等于0或a大于0，故分兩種情況考慮：（i）當(dāng)a=0時(shí)，代入原不等式得到關(guān)于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即為原不等式的解集；（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，把原不等式左邊分解因式，根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根的大小比較再分三個(gè)區(qū)間考慮：0＜a＜1，a=1及a＞1，分別比較兩根大小，然后根據(jù)不等式取解集的方法得到原不等式的解集即可．

解答：（本題8分）
解：由a為非負(fù)實(shí)數(shù)，得到a=0或a＞0，
（i）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式即為-x+1＜0，
∴原不等式解集為（1，+∞）；…（2分）
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，不等式變形為（x-1）（ax-1）＜0，
∴不等式對(duì)應(yīng)方程（x-1）（ax-1）=0的兩根為1和

1

a

，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

1

a

＞1，原不等式解集為（1，

1

a

）；…（4分）
當(dāng)a=1時(shí)，

1

a

=1，原不等式解集為∅；…（6分）
當(dāng)a＞1時(shí)，

1

a

＜1，原不等式解集為（

1

a

，1）．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次不等式的解法，利用了分類(lèi)討論及轉(zhuǎn)化的思想，是高考中常考的基本題型．