Question

【題目】某保險(xiǎn)公司針對(duì)企業(yè)職工推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元．保險(xiǎn)公司把職工從事的所有崗位共分為A、B、C三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）．

工種類別	A	B	C
賠付頻率

（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費(fèi)的20%，試分別確定各類工種每張保單保費(fèi)的上限；
（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準(zhǔn)備為全體職工每人購買一份此種保險(xiǎn)，并以（Ⅰ）中計(jì)算的各類保險(xiǎn)上限購買，試估計(jì)保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)工種A的每份保單保費(fèi)為a元，設(shè)保險(xiǎn)公司每單的收益為隨機(jī)變量X，

則X的分布列為：

X	a	a﹣50×104
P	1﹣

保險(xiǎn)公司期望收益為 =a﹣5

根據(jù)規(guī)則a﹣5≤0.2a

解得a≤6.25元，

設(shè)工種B的每份保單保費(fèi)為b元，賠付金期望值為 元，

則保險(xiǎn)公司期望利潤為b﹣10元，根據(jù)規(guī)則b﹣10≤0.2b，解得b≤12.5元，

設(shè)工種C的每份保單保費(fèi)為c元，賠付金期望值為 元，

則保險(xiǎn)公司期望利潤為c﹣50元，根據(jù)規(guī)則c﹣50≤0.2c，解得c≤62.5元．

（Ⅱ）購買A類產(chǎn)品的份數(shù)為20000×60%=12000份，

購買B類產(chǎn)品的份數(shù)為20000×30%=6000份，

購買C類產(chǎn)品的份數(shù)為20000×10%=2000份，

企業(yè)支付的總保費(fèi)為12000×6.25+6000×12.5+2000×62.5=275000元，

保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤為275000×20%=55000元．

【解析】（Ⅰ）設(shè)工種A的每份保單保費(fèi)為a元，設(shè)保險(xiǎn)公司每單的收益為隨機(jī)變量X，求出X的分布列和保險(xiǎn)公司期望收益，根據(jù)規(guī)則a﹣5≤0.2a，從而a≤6.25元，設(shè)工種B的每份保單保費(fèi)為b元，求出賠付金期望值為10元，則保險(xiǎn)公司期望利潤為b﹣10元，根據(jù)規(guī)則b﹣10≤0.2b，解得b≤12.5元，設(shè)工種C的每份保單保費(fèi)為c元，求出賠付金期望值為50元，則保險(xiǎn)公司期望利潤為c﹣50元，根據(jù)規(guī)則c﹣50≤0.2c，解得c≤62.5元．（Ⅱ）購買A類產(chǎn)品的份數(shù)為12000份，購買B類產(chǎn)品的份數(shù)為6000份，購買C類產(chǎn)品的份數(shù)為2000份，由此能求出保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列．