Question

設f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，不等式f（x）＞0的解集是（-3，2）．
（1）求f（x）；
（2）當函數(shù)f（x）的定義域是[0，1]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）＞0的解集是（-3，2），結(jié)合函數(shù)零點、方程的根與不等式解集的端點之間的關系，我們易得到-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根，根據(jù)韋達定理我們易構(gòu)造出關于a，b的方程，求出a，b值后易得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，我們易判斷函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最值，由于函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，故可得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）＞0的解集是（-3，2），
∴-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩個根，
∴-3+2=-1=

8-b

a

，即b-8=a①
-3×2=-6=

-a-ab

a

，即1+b=6②
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x²-3x+18
（2）∵函數(shù)f（x）=-3x²-3x+18的圖象是以x=-

1

2

為對稱軸，開口方向朝下的拋物線
故函數(shù)f（x）=-3x²-3x+18在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減
∴當x=0時，y有最大值18，
當x=1時，y有最小值12，
∴當x∈[0，1]時函數(shù)f（x）的值域[12，18]

點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點與方程的根及不等式解集的端點之間的關系，函數(shù)的值域，其中根據(jù)函數(shù)零點與方程的根及不等式解集的端點之間的關系，由不等式f（x）＞0的解集是（-3，2），構(gòu)造關于a，b的方程，進而求出函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵．