Question

一個棱柱的直觀圖和三視圖（主視圖和俯視圖是邊長為a的正方形，左視圖是直角邊長為a的等腰三角形）如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點．
（Ⅰ）求證：GN⊥AC；
（Ⅱ）求三棱錐F-MCE的體積；
（Ⅲ）當FG=GD時，證明AG∥平面FMC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三視圖易得該幾何體是一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，且側(cè)面積ABCD是正方形，根據(jù)已知，我們易得AC⊥面ABCD
，進而得到GN⊥AC．
（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)化思想，我們可得V_E-FMC=V_ADF-BCE-V_F-AMCD-V_E-MBC，把相應(yīng)的棱長代入體積公式，即可得到結(jié)論．
（Ⅲ）連接DE交FC于Q，連接QG，我們易得AM∥GQ，根據(jù)線面平行的判定定理，我們易得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由三視圖可知，多面體是直三棱柱，
兩底面是直角邊長為a的等腰直角三角形，
側(cè)面ABCD，CDFE是邊長為a的正方形．（3分）
連接DN，因為FD⊥CD，F(xiàn)D⊥AD，
所以，F(xiàn)D⊥面ABCD
∴FD⊥AC
又∵AC⊥DN，
所以，AC⊥面GND，
GN?面GND
所以GN⊥AC（6分）
（Ⅱ）V_E-FMC=V_ADF-BCE-V_F-AMCD-V_E-MBC．（12分）
=S△BCE•CD-

1

3

FD•SAMCD-

1

3

EC•S△MBC
=

1

2

a•a•a-

1

3

•

1

2

(

a

2

+a)•a•a-

1

3

•

1

2

•

a

2

•a•a
=

1

6

a3．（14分）
另解：VE-FMC=VM-CEF=

1

3

AD•S△CEF=

1

3

•a•

1

2

a•a=

1

6

a3
（Ⅲ）連接DE交FC于Q，連接QG
因為G，Q，M分別是FD，F(xiàn)C，AB的中點，所以GQ∥

1

2

CD，AM∥

1

2

CD，
所以，AM∥GQ，AMGQ是平行四邊形（9分）
AG∥QM，AG?面FMC，MQ?面FMC
所以，AG∥平面FMC．（10分）

點評：本題考查的知識點是由三視圖判斷物體的形狀，線面、線線垂直的轉(zhuǎn)化，棱錐體積的求法，線面平行的證明，其中根據(jù)三視圖判斷棱柱相關(guān)棱長的長度及相互之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．