Question

定義在R上的單調(diào)增函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立
（1）求f（0）的值
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)
（3）若f（1+2^x）+f＞0對(duì)x∈（-∞，1]恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y=0，能求出f（0）．
（2）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）⇒f（-x）=-f（x），由此能夠證明f（x）為奇函數(shù)．
（3）由f（t•3^x）＞-f（1+2^x），知f（t•3^x）＞f（-1-2^x），所以t•3^x＞-1-2^x，恒成立，由此能求出t的取值范圍．
解答：解：（1）令x=y=0，
則f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0．
（2）令y=-x，
則f（0）=f（x）+f（-x），
∵f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）∵f（t•3^x）＞-f（1+2^x），
∴f（t•3^x）＞f（-1-2^x），
∴t•3^x＞-1-2^x
∴恒成立，
而單調(diào)遞增，
∴
從而t＞-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的靈活運(yùn)用．