【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）求函數(shù)的零點個數(shù)；

（Ⅱ）證明： 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)化簡可得，對進行討論可得零點個數(shù)；（Ⅱ）可得時，無極值；結(jié)合（Ⅰ）可得時， 的極小值為，而當(dāng)時， 恒成立，可得極小值即為最小值，故充分性成立，可以舉出反例當(dāng)時，必要性不成立.

試題解析：（Ⅰ）由，得．

令，得，或．

所以當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點： ；當(dāng)時，函數(shù)有兩個相異的零點： ， ．

（Ⅱ）① 當(dāng)時， 恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)無極值．

② 當(dāng)時， ， 的變化情況如下表：

↘

極小值

↗

極大值

↘

所以， 時， 的極小值為．

又時， ，

所以，當(dāng)時， 恒成立．

所以， 為的最小值．

故是函數(shù)存在最小值的充分條件．

③ 當(dāng)時， ， 的變化情況如下表：

↘

極小值

↗

極大值

↘

因為當(dāng)時， ，

又，

所以，當(dāng)時，函數(shù)也存在最小值．

所以， 不是函數(shù)存在最小值的必要條件．

綜上， 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件．

練習(xí)冊系列答案
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A. ； B. ；

C. ； D. ；

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（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
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