Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+3x²-ax．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關于x的不等式f（x）≥

7

2

x2+ax+1在x≥

1

2

時恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對f（x）求導函數(shù)f'（x），由f'（0）=0，求出a的值，從而求得f（1）與f'（1），寫出y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）由f（x）≥

7

2

x2+ax+1在x≥

1

2

時恒成立，得不等式2a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，構造函數(shù) g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，利用導函數(shù)求g（x）在[

1

2

，+∞)上的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+3x²-ax，∴f'（x）=e^x+6x-a，
∵f（x）在x=0處取得極值，∴f'（0）=e⁰-a=0，∴a=1，
∴f（x）=e^x+3x²-x，f'（x）=e^x+6x-1，
∴f（1）=e+2，f'（1）=e+5，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：
y-（e+2）=（e+5）（x-1），即y=（e+5）x-3．
（2）∵f（x）=e^x+3x²-ax，且f(x)≥

7

2

x2+ax+1，
∴ex+3x2-ax≥

7

2

x2+ax+1，
即 2ax≤ex-

1

2

x2-1，
∵x≥

1

2

，∴2a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，
令 g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，則g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

．  
令 φ(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，則φ'（x）=x（e^x-1）．
∵x≥

1

2

，∴φ'（x）＞0，∴φ（x）在[

1

2

，+∞)上單調遞增，
∴φ(x)≥φ(

1

2

)=

7

8

-

1

2

e

＞0，
∴g'（x）＞0，∴g（x）在[

1

2

，+∞)上單調遞增，
∴g(x)≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

，
∴2a≤2

e

-

9

4

，即a的取值范圍是(-∞，

e

-

9

8

]．

點評：本題考查了利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性與求函數(shù)最值的問題，也考查了應用導數(shù)求曲線的切線方程與不等式恒成立問題，是難題．