已知函數(shù)（k＞0）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求f（x）的極值
（2）對于數(shù)列{an}，（n∈N*）
①證明：an＜an+12
②考察關(guān)于正整數(shù)n的方程an=n是否有解，并說明理由．
【答案】分析：（1）由f′（x）=0可求得x=0或x=±，從而可求得其單調(diào)區(qū)間，繼而可求得f（x）的極值；
（2）①觀察得知，當k=1時，f（x）=，an=，利用f（x）在（1，+∞）上遞增，即可證得an＜an+1；
（3）由an=n，得=n2+n，分析等號兩端即可得到答案．
解答：解：（1）由f′（x）=2kx（-e）=0得，x=0或x=±，
∴f（x）在 （-∞，-）單調(diào)遞減，（-，0）單調(diào)遞增，（0，）單調(diào)遞減，（，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）極大=f（0）=1，f（x）極小值==0，
（2）①當k=1時，f（x）==，
由（1）知f（x）在（1，+∞）上遞增，從而an＜an+1
②由an=n，得=n2+n，
因n∈N+，得 n2-1是整數(shù)，所以是無理數(shù)，
而n2+n為整數(shù)，所以≠n2+n
即方程an=n無解
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，著重考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，屬于難題．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，如果存在函數(shù)g（x）=ax（a為常數(shù)），使得f（x）≥g（x）對于一切實數(shù)x都成立，那么稱g（x）為函數(shù)f（x）的一個承托函數(shù)．已知對于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函數(shù)f（x）=e
x
k
的一個承托函數(shù)，記實數(shù)a的取值范圍為集合M，則有（　�。�

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（2012•湛江一模）已知函數(shù)f（x）的圖象是在[a，b]上連續(xù)不斷的曲線，定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=2sinx(0≤x≤
π
2
)．
（1）求f1（x），f2（x）的表達式；
（2）判斷f（x）是否為[0，
π
2
]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，請求對應(yīng)的k的值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)數(shù)學公式（k＞0）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求f（x）的極值
（2）對于數(shù)列{an}，數(shù)學公式（n∈N*）
①證明：an＜an+12
②考察關(guān)于正整數(shù)n的方程an=n是否有解，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年北京五中高三（上）第一次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)（k＞0），求f（x）的極值．

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