Question

設關于正整數n的函數f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常數a，b，c使得f（n）=

n(n+1)

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(an2+bn+c)對一切自然數n都成立？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²即可求得f（1），f（2），f（3）；
（2）假設存在常數a，b，c使得f（n）=

n(n+1)

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(an2+bn+c)對一切自然數n都成立，由f（1），f（2），f（3）的值可求得a，b，c；再用數學歸納法證明即可．

解答：解：（1）∵f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²，
∴f（1）=1•2²=4，
f（2）=1•2²+2•3²=22，
f（3）1•2²+2•3²+3•4²=70；
（2）假設存在常數a，b，c使得f（n）=

n(n+1)

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(an2+bn+c)對一切自然數n都成立，
則f（1）=

1×2

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（a+b+c）=4，
∴a+b+c=24①，
同理，由f（2）=22得4a+2b+c=44②，
由f（3）=70得9a+3b+c=70③
聯(lián)立①②③，解得a=3，b=11，c=10．
∴f（n）=

n(n+1)

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（3n²+11n+10）．
證明：1°當n=1時，顯然成立；
2°假設n=k時，f（k）=

k(k+1)

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（3k²+11k+10）=

k(k+1)(k+2)(3k+5)

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，
則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+（k+1）[（k+1）+1]²
=

k(k+1)(k+2)(3k+5)

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+（k+1）[（k+1）+1]²
=

(k+1)(k+2)

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（3k²+17k+24）
=

(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)

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=

(k+1)[(k+1)+1][(k+2)+1][3(k+1)+5]

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，
即n=k+1時，結論也成立．
綜合1°，2°知，存在常數a=3，b=11，c=10使得f（n）=

n(n+1)

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（3n²+11n+10）對一切自然數n都成立．

點評：本題考查數學歸納法，求得a，b，c的值是關鍵，考查分析、運算及推理證明的能力，屬于難題．