如圖，橢圓Σ：（a＞b＞0）的離心率，橢圓的頂點A、B、C、D圍成的菱形ABCD的面積S=4．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓Σ相交于M、N兩點，在橢圓是否存在點P、Q，使四邊形PMQN為菱形？若存在，求PQ的長；若不存在，簡要說明理由．

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率及a，b，c的關(guān)系、菱形的面積公式即可得出；
（2）利用橢圓的對稱性、線段的垂直平分線的性質(zhì)、菱形的定義、兩點間的距離公式．
解答：解：（1）依題意，從而，a=2b．
又==4，即ab=2，
聯(lián)立，解得a=2，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）存在．
由直線可得，
根據(jù)橢圓的對稱性，當(dāng)直線PQ是線段MN的垂直平分線時，PMQN為菱形，∴，
∴PQ所在直線的方程為．
聯(lián)立解得，．
∴，，
∴|PQ|==．
點評：熟練掌握橢圓的對稱性、離心率及a，b，c的關(guān)系、線段的垂直平分線的性質(zhì)、菱形的定義菱形的面積公式、兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上頂點為A，Q為x軸正半軸上一點，P為橢圓上異于A的一點，且
AF
•
AQ
=0．
（1）若
AP
=λ
AQ
，求λ的值；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•西城區(qū)一模）如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為60°．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點．記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點）的面積為S2，求
S1
S2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的點M與橢圓右焦點F1的連線MF1與x軸垂直，且OM（O是坐標(biāo)原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過F1且與AB垂直的直線交橢圓于P，Q，若△PF2Q的面積是20
3
，求此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，A、B分別是橢圓的左、右頂點，C是橢圓上的頂點，若∠CF1B=60°，|AC|=
21
3
b，則橢圓的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（06年浙江卷理）（14分）

如圖，橢圓＝1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=.

 (Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF的中點，求證：∠ATM=∠AFT.

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同步練習(xí)冊答案