Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），且滿足條件：①f（xy）=f（x）+f（y）；②f（2）=1；③當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）為偶函數(shù)；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）求不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）法一：令x=y=1，可得f（1）=0．令x=y=-1，可得f（-1）=0．令y=-1，有f（-x）=f（x）+f（-1），即可證明．
法二：由已知可得：f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），即可證明．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，可得f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)，利用

x2

x1

＞1，當x＞1時，f（x）＞0．即可證明．
（3）由已知可得：f（2×2）=f（2）+f（2）=2，不等式f（x）+f（x-3）≤2=f（4），化為f（x（x-3）≤f（4），由于f（x）是偶函數(shù)，可得f（|x（x-3）|）≤f（4），再利用單調(diào)性即可得出．

解答： （1）證明：法一：令x=y=1，有f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=y=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0．
令y=-1，有f（-x）=f（x）+f（-1），
∴f（x）=f（-x）且定義域關(guān)于原式對稱，
∴f（x）是偶函數(shù)                                 
法二：f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x）
（2）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∴f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)，
∵

x2

x1

＞1，當x＞1時，f（x）＞0．
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（3）解：∵f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2=f（4），
∴f（x（x-3）≤f（4），∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（|x（x-3）|）≤f（4），∴

x≠0 x-3≠0 |x(x-4)|≤4

，解得-1≤x≤4且x≠0，3．
∴解集為[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]

點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了構(gòu)造法和適當取值，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．