Question

（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，三棱柱中，，，．

（1）證明：；

（2）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以三棱柱為幾何背景考查線線垂直、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，在等腰三角形中，O為AB中點(diǎn)，所以CO為高，由已知可得為等邊三角形，所以得到，所以利用線面垂直的判定得平面，最后利用線面垂直的性質(zhì)得；第二問(wèn)，在等邊三角形中，先解出邊CO和的長(zhǎng)，再利用分析出是直角三角形，得到線段的兩兩垂直關(guān)系，從而建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面和平面ACB的法向量，再利用夾角公式計(jì)算二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，.

，故， . ..1分

又，，

為等邊三角形．

， ..3分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106011034872447/SYS201507110601148332645164_DA/SYS201507110601148332645164_DA.023.png">平面，平面，．

平面． 5分

又平面，因此． 6分

（2）方法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足，連接.

在等邊中，

在等邊中．

在中．

是直角三角形，且，故． 8分

、平面，．

平面. 又平面，故．

、平面， ，故平面．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071106011034872447/SYS201507110601148332645164_DA/SYS201507110601148332645164_DA.054.png">平面，所以．

所以是二面角的平面角． 10分

在中，．

在中，．

．

所以二面角的余弦值． 13分

方法二：在等邊中，在等邊中．

在中．

是直角三角形，且，故． 8分

分別以，，為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

由已知得，，，.

設(shè)為平面的法向量，

則，，

，，

又，，

.

取，則，，故． 11分

又是平面的法向量，二面角的大小等于或其補(bǔ)角．

．

依圖知二面角的余弦值為．. 13分

考點(diǎn)：線線垂直、線面垂直、二面角.