Question

（2010•和平區(qū)一模）在數(shù)列{a_n}中，a1=1，an+1=

an

c•an+1

（c為常數(shù)，n∈N*），且a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過已知條件，方程去倒數(shù)，即可推出數(shù)列滿足等差數(shù)列的定義，說明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）通過第一問，直接求出a₁，a₂，a₅，利用等比數(shù)列直接求出c的值；
（Ⅲ）通過第二問，求出a_n，然后利用b_n=a_na_n+1，通過裂項法直接求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）因為a1=1，an+1=

an

c•an+1

，所以a_n≠0，
則

1

an+1

-

1

an

=

c•an+1

an

-

1

an

=c，又c為常數(shù)，
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

1

an

=

1

a1

+(n-1)c=1+(n-1)c，
∵a₁=1，∴a₂=

1

1+c

，a₅=

1

1+4c

，
∵a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數(shù)列，所以(

1

1+c

)2=

1

1+4c

，
解得c=0或c=2，當(dāng)c=0時，a_n=a_n+1，不滿足題意，舍去，
所以c的值為2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴an=

1

2n-1

，
b_n=a_na_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以數(shù)列{b_n}的前n項和
S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)

點評：本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，裂項法求和，考查分析問題解決問題的能力．