Question

已知橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，離心率．過(guò)D作直線l與橢圓交于另一點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)A（不同于原點(diǎn)O），點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，直線DN交x軸于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，短軸的端點(diǎn)坐標(biāo)，可得b=，又由離心率，則a=2c，代入a²=b²+c²中；解可得a、b的值，即可得答案．
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為．令y=0，得A的坐標(biāo)；進(jìn)而聯(lián)立方程組，可得M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線DN的方程，即可得B的坐標(biāo)，進(jìn)而由數(shù)量積的公式，計(jì)算可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由已知，短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則b=；
離心率，則a=2c，
又由a²=b²+c²；
解可得．
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線l方程為．令y=0，得．
由方程組可得，即．
所以，
所以，．
所以．
直線DN的方程為．
令y=0，得．
所以=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的關(guān)系，是一道綜合題；解題時(shí)，注意充分利用題干的條件，從中提取有關(guān)的信息，起到簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，降低運(yùn)算量的目的．