Question

【題目】已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）用定義法判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

（3）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增；（3）.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，所以是上的奇函數(shù)，由，即可求解實(shí)數(shù)的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；（3）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，又由為增函數(shù)，得, 轉(zhuǎn)化為“存在，使得不等式成立.” 即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，

所以是上的奇函數(shù)，由，得，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，故.

（2）任取，則, 所以,

所以

,所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（3）由,可得.

又因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以.

又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增,所以, 即,

所以“存在，使得不等式成立.”

即“存在，使得不等式成立.”

令, 則, 所以.