【題目】如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,底面ABC是邊長為2的等邊三角形,上、下底面的面積之比為1:4,側面A1ABB1⊥底面ABC,并且A1A=A1B1,∠AA1B=90°.
(1)平面A1C1B∩平面ABC=l,證明:A1C1∥l;
(2)求四棱錐B-A1ACC1的體積.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)三棱臺中上底面與下底面是平行的,即平面A1B1C1∥平面ABC,再由面面平行的性質定理可以得到;
(2) 取AB中點O,連接CO,則CO⊥AB,由面面垂直的性質可得CO⊥平面A1ABB1,由已知求得上底面邊長,然后利用等積法求四棱錐B-A1ACC1的體積.
(1)證明:如圖,∵平面A1B1C1∥平面ABC,
且平面A1C1B∩平面ABC=l,A1C1B∩平面A1B1C1=A1C1,
∴A1C1∥l;
(2)解:∵底面ABC是等邊三角形,取AB中點O,
連接CO,則CO⊥AB,
∵面A1ABB1⊥底面ABC,且面A1ABB1∩底面ABC=AB,
∴CO⊥平面A1ABB1,連接A1C,
在三棱臺ABC-A1B1C1中,
∵上、下底面的面積之比為1:4,∴AB=2A1B1,
由AB=2,得CO=,A1B1=1,則A1A=A1B1=1,
又∠AA1B=90°,∴,
則,
∴=;
由AC=2A1C1,得,
∴,
∴四棱錐B-A1ACC1的體積.
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【題目】下列命題中正確命題的序號是( )
①函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導,“f′(1)=0”是“函數(shù)f(x)在x=1處取極值”的充分不必要條件;
②函數(shù)f(x)=x3ax在[1,2]上單調(diào)遞增,則a≥﹣4
③在一次射箭比賽中,甲、乙兩名射箭手各射箭一次.設命題p:“甲射中十環(huán)”,命題q:“乙射中十環(huán)”,則命題“至少有一名射箭手沒有射中十環(huán)”可表示為(¬p)∨(¬q);
④若橢圓左、右焦點分別為F1,F2,垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點,當直線過右焦點時,△ABF1的周長取最大值
A.①③④B.②③④C.②③D.①④
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當時,證明:.(為自然對數(shù)的底數(shù))
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【題目】在平面直角坐標系中,直線過點且與直線垂直,直線與軸交于點,點與點關于軸對稱,動點滿足.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點的直線與軌跡相交于兩點,設點,直線的斜率分別為,問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】為培養(yǎng)學生的閱讀習慣,某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化,閱讀經(jīng)典名著”活動. 活動后,為了解閱讀情況,學校統(tǒng)計了甲、乙兩組各10名學生的閱讀量(單位:本),統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下,乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中以a表示.
(Ⅰ)若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值, 求圖中a的所有可能取值;
(Ⅱ)將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學生稱為“閱讀達人”. 設,現(xiàn)從所有“閱讀達人”里任取3人,求其中乙組的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.
(Ⅲ)記甲組閱讀量的方差為. 在甲組中增加一名學生A得到新的甲組,若A的閱讀量為10,則記新甲組閱讀量的方差為;若A的閱讀量為20,則記新甲組閱讀量的方差為,試比較,,的大小.(結論不要求證明)
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【題目】上海市旅游節(jié)剛落下帷幕,在旅游節(jié)期間,甲、乙、丙三位市民顧客分別獲得一些景區(qū)門票的折扣消費券,數(shù)量如表1,已知這些景區(qū)原價和折扣價如表2(單位:元).
表1:
數(shù)量 | 景區(qū)1 | 景區(qū)2 | 景區(qū)3 |
甲 | 0 | 2 | 2 |
乙 | 3 | 0 | 1 |
丙 | 4 | 1 | 0 |
表2:
門票 | 景區(qū)1 | 景區(qū)2 | 景區(qū)3 |
原價 | 60 | 90 | 120 |
折扣后價 | 40 | 60 | 80 |
(1)按照上述表格的行列次序分別寫出這三位市民獲得的折扣消費券數(shù)量矩陣A和三個景區(qū)的門票折扣后價格矩陣B;
(2)利用你所學的矩陣知識,計算三位市民各獲得多少元折扣?
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【題目】(2017高考新課標Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓:的左、右焦點分別為,,下頂點為,橢圓的離心率是,的面積是.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)直線與橢圓交于,兩點(異于點),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標.
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