Question

已知四棱錐C-ABDE中，平面ABDE⊥平面ABC，底面ABDE是正方形，AB=1，CD=

3

，AB⊥BC，
（1）求證：平面ACE⊥平面ABC，
（2）求CD與平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證平面ACE⊥平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ACE內(nèi)一直線與平面ABC垂直，而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知AC⊥平面PDB；
（2）設(shè)BE∩AD=O，連接OC，根據(jù)線面所成角的定義可知CD與平面BCE所成的角就是∠DCO，在直角三角形CDO中，求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）證明：在正方形ABDE中，EA⊥AB，
又AB=平面ABDE∩平面ABC，平面ABDE⊥平面ABC
所以，EA⊥平面ABC，（4分）
又EA在平面ACE內(nèi)，所以，平面ACE⊥平面ABC．（7分）
（2）同理，由AB⊥BC可知：BC⊥平面ABDE，進(jìn)而知，BC⊥AD
在正方形ABDE中，AD⊥BE，又BC∩BE=B，知AD⊥平面BCE．（10分）
設(shè)BE∩AD=O，連接OC，則CD與平面BCE所成的角就是∠DCO，且DO⊥CO．（12分）
在正方形ABDE中，由AB=1知，DO=

2

2

，
在直角三角形CDO中，依前知，sin∠DCO=

DO

CD

=

6

6

，
即CD與平面BCE所成角的正弦值是

6

6

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及線面所成角的計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．