Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2-bx（a，b∈R）
（1）若y=f（x）圖象上的點(diǎn)(1，-

11

3

)處的切線斜率為-4，求y=f（x）的極大值；
（2）若y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求a+b的最小值．

Answer 1

（1）∵f'（x）=x²+2ax-b，
∴由題意可知：f'（1）=-4且f(1)=-

11

3

，

1+2a-b=-4 1 3 +a-b=- 11 3

解得

a=-1 b=3

（3分）
∴f(x)=

1

3

x3-x2-3x
f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=3
由此可知：



∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取極大值

5

3

．（6分）
（2）∵y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f'（x）=x²+2ax-b≤0在區(qū)間[-1，2]上恒成立．
根據(jù)二次函數(shù)圖象可知f'（-1）≤0且f'（2）≤0，



即：

1-2a-b≤0 4+4a-b≤0

也即

2a+b-1≤0 4a-b+4≤0

（9分）
作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖：



當(dāng)直線z=a+b經(jīng)過(guò)交點(diǎn)P(-

1

2

，2)時(shí)，z=a+b取得最小值z=-

1

2

+2=

3

2

，
∴z=a+b取得最小值為

3

2

（12分）