Question

已知函數f（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

），x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

4

5

.0＜α＜β≤

π

2

，求證：[f（β）]²-2=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導公式對函數解析式化簡整理，進而根據三角函數的周期性和值域求解．
（Ⅱ）利用兩角和公式把已知條件展開后相加，求得β的值，代入函數解析式中求得答案．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

）=sin（x-

π

4

）+sin（x-

π

4

）=2sin（x-

π

4

）
∴T=2π，最小值為-2
（Ⅱ）∵cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=

4

5

，cos（β+α）=cosβcosα-sinβsinα=-

4

5

，
兩式相加得2cosβcosα=0，
∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴β=

π

2

∴[f（β）]²-2=4sin²

π

4

-2=0

點評：本題主要考查了兩角和公式和誘導公式的化簡求值．考查了考生基礎知識的綜合運用．