Question

如圖，△VAC中，VC⊥AC，將其繞直線VC旋轉(zhuǎn)得到△VBC，D是AB的中點(diǎn)，AB=，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）
（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）當(dāng)角θ變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．
（Ⅲ）θ=時(shí)，在線段VB上能否找到點(diǎn)E使二面角E-CD-B的大小也為，若能，求．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)已知中，△VAC中，VC⊥AC，將其繞直線VC旋轉(zhuǎn)得到△VBC，D是AB的中點(diǎn)，我們易得到VC⊥AC，VC⊥BC，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到平面VAB⊥平面VCD；，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖，我們求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定直線AB與平面VCD的法向量，利用向量法證明，AB⊥平面VCD，再由面垂直的判定定理得到平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）設(shè)平面VAB的法向量為=（x，y，z），并求出平面VAB的法向量，并設(shè)直線BC與平面VAB所成角為φ，根據(jù)已知中AB=，AC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜），結(jié)合向量夾角公式，易得到直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．
（III）當(dāng)θ=時(shí)，則我們易求出滿足條件的V點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二面角E-CD-B的大小也為，我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ方程，解方程即可求出滿足條件的λ．
解答：解：（Ⅰ）∵AB=，AC=BC=a，
∴AC⊥BC，
∵VC⊥AC，VC⊥BC，
∴VC⊥平面ABC，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CV為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖，

則A（a，0，0），B（0，a，0），D（，，0），V（0，0， ），
∴=（，，- ），=（，，0），=（-a，a，0），
∴，=0，
∴AB⊥平面VCD，
∵AB?平面VAB，
∴平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）設(shè)平面VAB的法向量為=（x，y，z），
∴，，
∴，
∴又=（1，1，），
又∵=（0，-a，0）
設(shè)直線BC與平面VAB所成角為φ，
∴sinφ==，
∵0＜θ＜，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜
0≤φ≤，∴0＜φ＜．λ
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，V點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0，a），
假設(shè)存在點(diǎn)E，則=，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0，（1-λ）a，）
設(shè)平面CDE的法向量為=（x，y，z）
∴，
∴，
∴=（1，-1，）
∵二面角E-CD-B的大小為，
∴cos==，
∴=1，
∴λ=，
故符合題意的λ=．
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將面面垂直的證明及直線與平面的夾角均轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．