Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC=4，E、F分別是PC、PD的中點．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定與性質定理可得：AE⊥平面PCD，得到AE⊥PD；同理可證AB⊥平面PAD，得到AB⊥PD，即可證明PD⊥平面ABE；
（2）由E、F分別是PC、PD的中點，可得三棱錐P-AEF的體積V=$\frac{1}{4}{V}_{C-PAD}$=$\frac{1}{4}{V}_{P-ACD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}•PA•{S}_{△ACD}$，即可得出．

解答 （I）證明：∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA，又AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE．
∵∠ABC=60°，AB=BC=4，
∴△ABC是正三角形，
∴AC=4=PA，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC，
又E是PC的中點，∴AE⊥PC，
又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，
∴AE⊥PD．
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，
又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE；
（2）解：∵E、F分別是PC、PD的中點，
∴三棱錐P-AEF的體積V=$\frac{1}{4}{V}_{C-PAD}$=$\frac{1}{4}{V}_{P-ACD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}•PA•{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{12}×4×\frac{1}{2}×AC×CD$
=$\frac{1}{6}×4×\frac{4}{\sqrt{3}}$
=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了正三角形與直角三角形的性質、線面面面平行垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．