對于在區(qū)間 [ m，n ] 上有意義的兩個函數(shù)與，如果對任意，均有，則稱與在 [ m，n ] 上是友好的，否則稱與在 [ m，n ]是不友好的．現(xiàn)有兩個函數(shù)與（a > 0且），給定區(qū)間．

（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；

（2）討論與在給定區(qū)間上是否友好．

 

【答案】

(1) ；(2) 當(dāng)時，在上是友好的，當(dāng)時，在上是不友好的

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上有意義，必須滿足（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是“友好”的，

則|f（x）-g（x）|=|loga（x2-4ax+3a2）|?|loga（x2-4ax+3a2）|≤1即-1≤loga（x2-4ax+3a2）≤1（*），因為a∈（0，1）?2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右側(cè)，

所以函數(shù)g（x）=loga（x2-4ax+3a2）在區(qū)間[a+2，a+3]上為減函數(shù)，從而，于是不等式（*）成立的充要條件是，因此，當(dāng)時，在上是友好的； 當(dāng)時，在上是不友好的

考點：本題考查了函數(shù)的定義域及單調(diào)性

點評：此類問題要求學(xué)生熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及新定義的運(yùn)用，屬于中檔題．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于在區(qū)間[a，b]上有意義的兩個函數(shù)m（x）與n（x），如果對于區(qū)間[a，b]中的任意x均有|m（x）-n（x）|≤1，則稱m（x）與n（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，[a，b]稱為“密切區(qū)間”，若函數(shù)m（x）=x2-3x+4與n（x）=2x-3在區(qū)間[a，b]上是“密切函數(shù)”，則b-a的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=asinx-x+b（a、b均為正的常數(shù)）．
（1）求證函數(shù)f（x）在（0，a+b]內(nèi)至少有一個零點；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在x=
π
3
處有極值
①對于一切x∈[0，
π
2
]，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍；
②若函數(shù)f（x）在區(qū)間（
m-1
3
π，
2m-1
3
π)上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•東城區(qū)三模）對于在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f（x）與g（x），如果對于任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的．若函數(shù)y=x2-2x+3與函數(shù)y=3x-2在區(qū)間[m，n]上是接近的，給出如下區(qū)間①[1，4]②[1，3]③[1，2]∪[3，4]④[1，
32
]∪[3，4]，則區(qū)間[m，n]可以是
③、④
③、④
．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•江西模擬）對于在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f（x）與g（x），如果對于任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的，若函數(shù)f（x）=x2-2x+3與g（x）=3x-2在區(qū)間[m，n]上是接近的，給出如下區(qū)間：（1）[1，4]（2）[1，2]（3）[1，2]∪[3，4]（4）[1，
32
]∪[3，4]，則區(qū)間[m，n]可以是
（2）（3）（4）
（2）（3）（4）
（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f（x）與g（x），如果對任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現(xiàn)有兩個函數(shù)f1（x）=loga（x-2a）與f2(x)=loga
1x-a
，（a＞0，且a≠1），給定區(qū)間[a+1，a+2]
（1）若f1（x）與f2（x）在區(qū)間[a+1，a+2]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，討論f1（x）與f2（x）在區(qū)間[a+1，a+2]上是否是接近的．

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