Question

【題目】已知函數(shù)，，，三個(gè)函數(shù)的定義域均為集合．

（1）若，試判斷集合與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）記，是否存在，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出滿足條件的最小正整數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．（以下數(shù)據(jù)供參考：，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1），利用導(dǎo)數(shù)工具得

；（2）令，．利用導(dǎo)數(shù)工具和零點(diǎn)存在性定理可知： ，，由于，，，，由零點(diǎn)存在性定理可知：，函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．，函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．假設(shè)存在使得，

，令，利用導(dǎo)數(shù)工具可得．

試題解析：（1），．

易知在上遞減，∴．

存在，使得，函數(shù)在遞增，在遞減，．

由得，

，

∴，．

（2）令，．

①，，由于，，，，由零點(diǎn)存在性定理可知：

，函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

②，，，，，

同理可知：

，函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

③假設(shè)存在使得，

消得，

令，，

∴遞增．∵，，

∴，

此時(shí)，

所以滿足條件的最小整數(shù)．