Question

函數(shù)f（x）=ax+ln（2-x）（x＜2），設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））的切線為l．
（1）若直線l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先求切線l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0，再根據(jù)直線l與圓（x+1）²+y²=1相切有

|4-3a|

(2a-2)2+1

=1．從而可求a的值；
（2）分類討論，令導(dǎo)數(shù)小于0，得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)大于0，得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=ax²+2㏑（2-x）．f（1）=a．故點（1，f（1））=（1，a）．
求導(dǎo)得：f′（x）=2ax-

2

2-x

，故f′（1）=2a-2．
故切線l：y-a=（2a-2）（x-1）．即l：（2a-2）x-y+（2-a）=0．
又由題設(shè)知，直線l到（-1，0）的距離為1
即有

|4-3a|

(2a-2)2+1

=1．解得：a=1或a=

11

5

；
（2）f′（x）=2ax-

2

2-x

=2×

ax2-2ax+1

x-2

，
當(dāng)a＜0 時，由導(dǎo)數(shù)小于0得，因為分子二次項的系數(shù)為負(fù)，
所以可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，a-

a2-1

)，(a+

a2-1

，2)；
由導(dǎo)數(shù)大于0得減區(qū)間(a-

a2-1

，a+

a2-1

)，(2，+∞)
當(dāng)0≤a≤1時，當(dāng)x＜2時，f′（x）＜0恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 （-∞，2）
當(dāng)

5

4

＞a＞1時，由導(dǎo)數(shù)小于0得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，a-

a2-1

)，(a+

a2-1

，2)；
由導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間(a-

a2-1

，a+

a2-1

)，(2，+∞)
當(dāng)a≥

5

4

時，由導(dǎo)數(shù)小于0得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，a-

a2-1

)，(2，a+

a2-1

)；
由導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間(a-

a2-1

，2)，(a+

a2-1

+∞)

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查直線與圓相切，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．