Question

已知在平面內(nèi)點(diǎn)P滿足|PM|-|PN|=2

2

，M（-2，0），N（ 2，0 ），O（0，0）
（1）求點(diǎn)P的軌跡S；
（2）直線y=k（x-2）與S交于點(diǎn)A，B，利用k表示△OAB的面積函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)系雙曲線的第一定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2

2

的雙曲線右支，即可求出點(diǎn)P的軌跡S；
（2）直線y=k（x-2）與S交與點(diǎn)A，B，結(jié)合漸近線的斜率可得k＞1或k＜-1，聯(lián)立y=k（x-2）與x²-y²=2（x＞0），消元，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，求出|AB|，求出點(diǎn)O到直線AB的距離，即可得到△OAB的面積函數(shù)表達(dá)式．

解答： 解：（1）由雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2

2

的雙曲線右支．
因此半焦距c=2，實(shí)半軸a=

2

，從而虛半軸b=

2

，
可得點(diǎn)P的軌跡S是雙曲線的右支：x²-y²=2（x＞0）
（2）因?yàn)橹本�y=k（x-2）與S交與點(diǎn)A，B，結(jié)合漸近線的斜率可得k＞1或k＜-1
聯(lián)立y=k（x-2）與x²-y²=2（x＞0），消元，可得：(1-k2)x_+4k2x-4k2-2=0，
故x1+x2=-

4k2

1-k2

，x1x2=-

4k2+2

1-k2

弦長(zhǎng)|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 4k2 1-k2 )2+ 16k2+8 1-k2

=2

2

k2+1

k2-1

又點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|-2k|

1+k2

，
∴S△OAB=

1

2

|AB|•d=

|k|

1+k2

•2

2

k2+1

k2-1

=2

2

|k| 1+k2

k2-1

因此，△OAB的面積函數(shù)表達(dá)式：S△OAB=

2 2 |k| 1+k2

k2-1

，k∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．