Question

（本小題滿分12分）如圖,在棱長為2的正方體中，點E，F分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．

（Ⅰ）求證：A1FC1E；

（Ⅱ）當三棱錐的體積取得最大值時，求二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見 解析；（Ⅱ） ．

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 設．以D為原點建立空間直角坐標系， 寫出有關點的坐標，只要證明 即可．

（Ⅱ） 首先把三棱錐的體積表示成的函數，確定當三棱錐的體積取得最大值時的 的值． 利用空間向量的數量積求出平面的法向量為，根據向量的夾角公式求出它與底面的法向量為的夾角的正切值．

試題解析：【解析】
設．以D為原點建立空間直角坐標系，得下列坐標：

，，，，,，,,

,．

（Ⅰ）因為，，

所以．

所以． （4分）

（Ⅱ）因為，

所以當取得最大值時，三棱錐的體積取得最大值．

因為，

所以當時，即E，F分別是棱AB，BC的中點時，三棱錐B1-BEF的體積取得最大值，此時E，F坐標分別為,．

設平面的法向量為，

則得

取，得．顯然底面的法向量為．

設二面角的平面角為，由題意知為銳角．

因為，所以，于是．

所以，即二面角的正切值為． （12分）

考點：空間向量在立體幾何中的應用．