Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(Ⅰ)證明：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小．

(Ⅲ)在棱DC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：因為底面ABCD是菱形， 　　所以AB＝AD＝AC＝a， 　　在 　　知 　　同理， 　　(Ⅱ)解：作EG∥PA交AD于G， 　　由 　　知 　　作 　　 　　又PE∶ED＝2∶1 　　所以 　　從而 　　(Ⅲ)解法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 　　由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 　　 　　所以 　　 　　設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)， 　　， 　　其中 　　則 　　 　　令得 　　 　　即 　　解得 　　即時， 　　共面． 　　又平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的時，BF∥平面AEC． 　　解法二：當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時，BF∥平面AEC．證明如下： 　　證法一：取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM∥CE．① 　　由，知E是MD的中點(diǎn)． 　　連接BM、BD，設(shè) 　　則O為BD的中點(diǎn)． 　　所以MB∥OE．② 　　由①、②知，平面BFM∥平面AEC． 　　證法二 　　因為 　　 　　 　　所以共面． 　　又平面AEC，從而BF∥平面AEC．