Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2x，對于正實數(shù)a，b，有下列四個不等式，①f(

a+b

2

)≥f(

ab

)；②f(

a2+b2

ab

)≤f(2)；③f(

ab

a+b

)≥f(

1

2

)④f(-a-

1

a

)≤f(-2)．其中一定成立的不等式是

②④

．（填序號）

Answer 1

分析：利用基本不等式，比較每組中自變量的大小關(guān)系，利用函數(shù)f（x）=-x²+2x的單調(diào)性逐個判斷即可．

解答：解：∵f（x）=-（x-1）²+1，為開口向下的拋物線，對稱軸x=1，當(dāng)x＜1時，y=f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時，y=f（x）單調(diào)遞減．
∴對于①，若a＞1，b＞1，則

a+b

2

＞1，

ab

＞1，
∵

a+b

2

≥

ab

＞1，f（x）=-（x-1）²+1在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（

a+b

2

）≤f（

ab

），故①錯誤；
對于②，∵

a2+b2

ab

≥

2ab

ab

=2，f（x）=-（x-1）²+1在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（

a2+b2

ab

）≤f（2），即②正確；
對于③，同理可知0＜

ab

a+b

≤

1

2

，
∵f（x）=-x²+2x在（-∞，1]上單調(diào)遞增，
∴f（

ab

a+b

）≤f（

1

2

），故③錯誤；
對于④，∵a＞0，
∴a+

1

a

≥2，
∴-a-

1

a

≤-2，
∵f（x）=-x²+2x在（-∞，1]上單調(diào)遞增，
∴f（-a-

1

a

）≤f（-2），故④正確．
綜上：其中一定成立的不等式是②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，突出考查基本不等式的運(yùn)用，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題．