Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且方程f（x）=x無實(shí)數(shù)根，下列命題：
①方程f[f（x）]=x也一定沒有實(shí)數(shù)根；
②若a＞0；則不等式f[f（x）]＞x對一切x都成立；
③若a＜0則必存在實(shí)數(shù)x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
④若a+b+c=0則不等式f[f（x）]＜x對一切x都成立．
其中正確命題的序號是

 

．（把你認(rèn)為正確命題的所有序號都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實(shí)數(shù)根，得出函數(shù)y=ax²+bx+c與y=x的圖象無交點(diǎn)，對選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析判斷，得出正確的結(jié)論．

解答： 解：∵由函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實(shí)數(shù)根，
即y=ax²+bx+c與y=x的圖象無交點(diǎn)，
∴①函數(shù)y=f[f（x）]與y=x的圖象無交點(diǎn)，即方程f[f（x）]=x沒有實(shí)數(shù)根，①正確；
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，與y=x無交點(diǎn)，
∴f（x）的圖象在y=x圖象的上方，
∴不等式f[f（x）]＞x對一切實(shí)數(shù)x都成立，②正確；
③同理，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象在y=x的下方，
f[f（x）]＜x恒成立，∴③錯誤；
④當(dāng)a+b+c=0時(shí)，f（1）=0，結(jié)合題意知a＜0，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象在y=x的下方，
不等式f[f（x）]＜x對一切x都成立，∴④正確．
綜上，正確的答案為①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行解答，是難理解的題目．