Question

如圖，三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上底△A₁B₁C₁面積為4，下底△ABC面積為9，且三棱錐C-AA₁B₁的體積為9，則三棱臺ABC-A₁B₁C₁的體積為（　�。�

• A．

  57

  2

• B．

  76

  3

• C．19
• D．18

Answer 1

分析：由三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上底△A₁B₁C₁面積為4，下底△ABC面積為9，知

A1B1

AB

=

4 9

=

2

3

．把三棱臺ABC-A₁B₁C₁的補成三棱錐V-ABC．設(shè)S_△VAB=S，△VAB在三棱錐V-ABC中的高為H，由三棱錐C-AA₁B₁的體積為9，知HS×

2

3

×

1

3

×

1

3

=9．所以HS=

243

2

．三棱錐V-ABC體積=

1

3

HS=

1

3

×

243

2

=

81

2

．三棱錐V-A₁B₁C₁體積=

81

2

×(

2

3

)3=12．由此能求出三棱臺體積．

解答：解：∵三棱臺ABC-A₁B₁C₁的上底△A₁B₁C₁面積為4，下底△ABC面積為9，
∴

A1B1

AB

=

4 9

=

2

3

．
把三棱臺ABC-A₁B₁C₁的補成三棱錐V-ABC．
設(shè)△VAB的面積S_△VAB=S，三棱錐V-ABC中以△VAB為底面的高為H，
設(shè)△VAB的AB邊上的高為h，則△AA₁B₁的邊A₁B₁上的高為

1

3

h，
∵△VAB的面積S_△VAB=

1

2

×AB×h=S，
∴△AA₁B₁的面積=

1

2

×A1B1×

1

3

h=

1

2

×

2

3

AB×

1

3

h=S×

2

3

×

1

3

，
∵三棱錐C-AA₁B₁的體積為9，
三棱錐C-AA₁B₁的高為H，
底面積為S×

2

3

×

1

3

，
∴

1

3

（S×

2

3

×

1

3

）H=9．
∴HS=

243

2

．
∴三棱錐V-ABC體積=

1

3

HS=

1

3

×

243

2

=

81

2

．
三棱錐V-A₁B₁C₁體積=

81

2

×(

2

3

)3=12．
三棱臺體積=

81

2

-12=

57

2

．
故選A．

點評：本題考查棱臺體積的求法，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要恰當?shù)匕寻讶�棱臺ABC-A₁B₁C₁的補成三棱錐V-ABC，是正確解題的關(guān)鍵步驟．