Question

平面上有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓之間都相交于兩個(gè)點(diǎn)，每三個(gè)圓都無公共點(diǎn)，它們將平面分成f（n）塊區(qū)域，則f（n）的表達(dá)式是

1. A.
   2ⁿ
2. B.
   2ⁿ-（n-1）（n-2）（n-3）
3. C.
   n³-5n²+10n-4
4. D.
   n²-n+2

Answer 1

D
分析：我們由兩個(gè)圓相交將平面分為4分，三個(gè)圓相交將平面分為8分，四個(gè)圓相交將平面分為14部分，我們進(jìn)行歸納推理，易得到結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立，然后假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立即可．
解答：∵一個(gè)圓將平面分為2份
兩個(gè)圓相交將平面分為4=2+2份，
三個(gè)圓相交將平面分為8=2+2+4份，
四個(gè)圓相交將平面分為14=2+2+4+6份，
…
平面內(nèi)n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，
則該n個(gè)圓分平面區(qū)域數(shù)f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域，而1²-1+2=2，命題成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成k²-k+2個(gè)區(qū)域．
當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個(gè)區(qū)域，
共有k²-k+2+2k=（k+1）²-（k+1）+2個(gè)區(qū)域．
∴n=k+1時(shí)，命題也成立．
由（1）、（2）知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了進(jìn)行簡單的合情推理．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．