Question

已知函數(shù)f（x）=

x-sinx(x≥0) ex-1(x＜0)

，若f（2-a²）＞f（a），則實(shí)數(shù)a取值范圍是

-2＜a＜1

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=

x-sinx，x≥0 ex-1，x＜0

，分類討論：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x-sinx，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，且f（0）=0；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x-1在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（x）＜f（0）=0，可知函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式f（2-a²）＞f（a）為2-a²＞a，解此不等式即可求得結(jié)果．

解答：解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x-sinx，
f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（0）=0；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x-1在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（x）＜f（0）=0，
故f（x）在R上單調(diào)遞增，
∵f（2-a²）＞f（a），
∴2-a²＞a，解得-2＜a＜1，
則實(shí)數(shù)a取值范圍是-2＜a＜1．
故答案為：-2＜a＜1

點(diǎn)評(píng)：此題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)的單調(diào)性問題，有關(guān)分段函數(shù)問題的解決策略就是分段解決，體現(xiàn)了分類討論的思想，根據(jù)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的單調(diào)性是解決此題的關(guān)鍵，利用函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，同時(shí)考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和計(jì)算能力．