Question

（理）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，an+1=

pan+n-1(n為奇數(shù)) -an-2n(n為偶數(shù))

．
（1）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），試求數(shù)列{b_n}前3項(xiàng)的和T₃；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_2n，試判斷{c_n}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)p=

1

2

時(shí)，對(duì)任意n∈N^*，不等式S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），結(jié)合 an+1=

pan+n-1(n為奇數(shù)) -an-2n(n為偶數(shù))

可得數(shù)列{b_n}是一個(gè)等差數(shù)列，求出通項(xiàng)后，利用求和公式可求T₃
（2）當(dāng)p=

1

2

時(shí)，易得數(shù)列{C_n}是一個(gè)等比數(shù)列，但是當(dāng)p≠

1

2

時(shí)，數(shù)列{c_n}不為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的定義，代入易驗(yàn)證結(jié)論
（3）由（1）（2）的結(jié)論，利用等差數(shù)列的求和公式可求S_2n+1，結(jié)合{S_2n+1}單調(diào)性可求最大值，而S2n+1≤log

1

2

(x2+3x)都成立，即S_2n+1最大值≤log

1

2

(x2+3x)，解不等式可求x

解答：解：（1）據(jù)題意得b_n=a_2n+a_2n+1=a_2n-a_2n-2×2n=-4n，
所以{b_n}成等差數(shù)列，故Tn=

-4-4n

2

•n=-2n（n+1）（4分）
∴T₃=-24
（2）（理）當(dāng)p=

1

2

時(shí)，數(shù)列{c_n}成等比數(shù)列；
當(dāng)p≠

1

2

時(shí)，數(shù)列{c_n}不為等比數(shù)列
理由如下：因?yàn)閏_n+1=a_2n+2=pa_2n+1+2n=p（-a_2n-4n）+2n=-pc_n-4pn+2n，
所以

cn+1

cn

=-p+

2n(1-2p)

cn

，
故當(dāng)p=

1

2

時(shí)，數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公比為-

1

2

等比數(shù)列；
當(dāng)p≠

1

2

時(shí)，數(shù)列{c_n}不成等比數(shù)列
（3）b_n=a_2n+a_2n+1=-4n，所以{b_n}成等差數(shù)列
當(dāng)p=

1

2

時(shí)a2n=cn=(-

1

2

)n-1，
因?yàn)镾_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）S_2n+1=a₁+b₁+b₂+…+b_n=2+（-4-8-12-…-4n）
=-2n²-2n+2（n≥1）
又S_2n+3-S_2n+1=-4n-4＜0所以{S_2n+1}單調(diào)遞減
當(dāng)n=1時(shí)，S₃最大為-2所以-2≤log

1

2

(x2+3x)
∴

x2+3x＞0 x2+3x≤4

⇒x∈[-4，-3)∪(0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和，其中熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，能熟練的判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列是解答本題的關(guān)鍵．