Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+ln（x+1）（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上恒有f′（x）＞x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知c₁＞0，且c_n+1=f′（c_n）（n=1，2，…），在（2）的條件下，證明數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)為0的根，在檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)為0的根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可得出結(jié)論．
（2）因f′（x）=2x-a+，由f′x）＞x，分參數(shù)得到：a＜x+，再利用函數(shù)y=x+的最小值即可得出求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，要證明當(dāng)n=1時(shí)，c₂＞c₁成立，再假設(shè)n=k時(shí)c_k+1＞c_k，c_k＞0成立，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)c_k+2＞c_k+1，也成立，即可得到對(duì)于任意正整數(shù)n數(shù)列{c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．
解答：解：（1）a=2時(shí)，fx）=x²-2x+ln（x+1），則f′（x）=2x-2+=，
f′x）=0，x=±，且x＞-1，
當(dāng)x∈（-1，-）∪（，+∞）時(shí)f′x）＞0，當(dāng)x∈（-，）時(shí)，f′x）＜0，
所以，函f（x）的極大值點(diǎn)x=-，極小值點(diǎn)x=．
（2）因f′（x）=2x-a+，f′x）＞x，
2x-a+＞x，
即a＜x+，
y=x+=x+1+-1≥1（當(dāng)且僅x=0時(shí)等號(hào)成立），
∴y_min=1．∴a≤1
（3）①當(dāng)n=1時(shí)，c₂=f′（x）=2c₁-a+，
又∵函y=2x+當(dāng)x＞1時(shí)單調(diào)遞增，c₂-c₁=c₁-a+=c₁+1+-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
∴c₂＞c₁，即n=1時(shí)結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，c_k+1＞c_k，c_k＞0則n=k+1時(shí)，
c_k+1=f′（c_k）=2c_k-a+，
c_k+2-c_k+1=c_k+1-a+=c_k+1+1+-（a+1）＞2-（a+1）=1-a≥0，
c_k+2＞c_k+1，即n=k+1時(shí)結(jié)論成立．由①，②知數(shù){c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、數(shù)列與函數(shù)的綜合、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．